Le critère de Kelly répond à une question trompeusement simple : si vous avez un avantage, quelle fraction de votre bankroll devez-vous engager sur ce pari ? C'est la seule règle de dimensionnement largement utilisée qui possède une propriété mathématique propre — la fraction qu'elle renvoie maximise le taux de croissance à long terme de votre bankroll. C'est pourquoi elle apparaît partout, des blogs de paris sportifs aux documents de risque des hedge funds, et pourquoi il vaut la peine de la comprendre avant de l'utiliser : la formule est facile, les erreurs qui l'entourent ne le sont pas.
Le critère de Kelly ne prédit pas si vous allez gagner. Il prend votre avantage comme acquis — votre probabilité de réussite et vos gains et pertes moyens — et indique quelle mise fait croître le plus vite une bankroll répétable dans le temps. Sans avantage, il n'y a pas de taille, ni de taille plus petite. Le critère a été développé par John L. Kelly aux laboratoires Bell en 1956 (en reprenant des idées antérieures de F. Y. Edgeworth) et s'est popularisé grâce à Edward Thorp, qui l'a utilisé en version adaptée pour battre le blackjack avant de passer au timing de marché.
La formule de Kelly
Pour un pari répété qui gagne W en moyenne ou perd L en moyenne, la fraction Kelly complète est :
f* = (b·p − q) / b, équivalentement f* = p − q/b
- p — probabilité de gagner le pari, 0 < p < 1 (0,60 pour un taux de réussite de 60 %)
- q — probabilité de perdre, q = 1 − p
- b — rapport gain/perte, b = W / L (gain moyen divisé par la perte moyenne)
Quatre étapes pour la calculer :
- Estimez p à partir d'un historique long du pari ou de la stratégie exactement identique — plus d'échantillons, plus de confiance (voir la section d'estimation ci-dessous).
- Dans ce même historique, mesurez le gain moyen W et la perte moyenne L, puis b = W / L. Sur un pari à cote fixe, b est la cote décimale moins 1 : cote 2,0 donne b = 1 (cote à égalité) ; 2,5 donne b = 1,5.
- Appliquez f* = (b·p − q) / b. Le résultat est la fraction de votre bankroll actuelle à parier à chaque instance du pari.
- Multipliez par votre fraction — la plupart utilisent 50 % ou 25 % — pour obtenir la mise que vous placez réellement.
Exemple chiffré
Considérons une stratégie qui réussit 60 % du temps, avec un gain moyen de 150 $ et une perte moyenne de 100 $, sur un compte de 10 000 $ :
- b = 150 / 100 = 1,5 ; q = 1 − 0,60 = 0,40
- f* = (1,5 × 0,60 − 0,40) / 1,5 = 0,50 / 1,5 ≈ 33,3 % de la bankroll
- Mise Kelly complète : 33,3 % × 10 000 $ ≈ 3 333 $ ; demi-Kelly ≈ 1 667 $ ; quart de Kelly ≈ 833 $
Deux vérifications à ancrer. À cote à égalité (b = 1), la formule se réduit à f* = 2p − 1, donc un taux de réussite de 55 % soutient une mise de 10 % — et 45 % donne −10 %, ce qui signifie que la formule vous dit de ne pas parier du tout. Un Kelly négatif est une information, pas une erreur : le prix qu'on vous paie ne couvre pas vos probabilités.
Ce que le Kelly complet fait réellement à une bankroll
Le Kelly complet maximise le taux de croissance logarithmique par pari g = p·ln(1 + b·f) − q·ln(1 − f). L'astuce, c'est ce que cette maximisation achète. Sur des paris à égalité, une bankroll en Kelly complet a environ 50 % de chances de tomber à la moitié de son pic à un moment donné, et environ une chance sur quatre de tomber à un quart de son pic. Ce n'est pas du risque de queue ; c'est la texture normale du Kelly complet. La plupart des gens qui regardent leur bankroll faire cela arrêtent de parier bien avant que la mathématique ne les arrête.
Il y a un second problème, plus subtil : vous ne connaissez pas le p et le b vrais. Kelly est maximalement agressif exactement au point où ses entrées sont correctes — et ses entrées sont des estimations. Si votre taux de réussite réel est de 55 % mais que vous croyez qu'il est de 60 %, votre mise « Kelly complet » est déjà une surenchère. Et le surjeu est asymétrique du mauvais côté : parier moins que Kelly ne fait que ralentir votre croissance ; parier plus — 2 × Kelly, même sur un avantage légèrement surévalué — rend la croissance logarithmique attendue de votre bankroll négative, si bien que la bankroll tend vers zéro avec le temps. Sous-parier coûte ; sur-parier est une ruine lente. Cette asymétrie est tout l'argument en faveur du Kelly fractionnel.
Pourquoi la plupart utilisent la demi-Kelly (ou moins)
Le compromis standard, dans le régime de faible avantage où vivent la plupart des avantages réels : parier la moitié de Kelly conserve environ 75 % de la croissance à long terme tout en réduisant la variance par pari à un peu plus d'un quart. Le quart de Kelly conserve un peu moins de la moitié de la croissance pour environ un seizième de la variance. La courbe croissance/risque est raide au début puis s'aplatit — d'où un menu pratique de quart, moitié et complet, avec la moitié comme valeur par défaut pour presque tout le monde.
Notre calculatrice Kelly utilise la demi-Kelly par défaut précisément pour cette raison. Elle affiche, pour vos chiffres, la mise et le taux de croissance logarithmique par pari à 25 %, 50 %, 75 % et 100 % de Kelly côte à côte, pour que vous voyiez le compromis dans vos propres unités plutôt qu'en abstraction. Si la fraction Kelly sort à zéro ou en négatif, elle vous le dit directement : ne placez pas le pari.
Comment estimer p, W et L sans se tromper
La plupart des échecs de Kelly sont des échecs d'estimation, pas des échecs de formule. Quelques habitudes qui gardent les chiffres honnêtes :
- La taille d'échantillon d'abord. Un taux de réussite de 60 % sur 20 paris a un intervalle de confiance à 95 % d'environ 40 % à 80 %. Utilisez au moins cent paris ou trades clôturés — plusieurs centaines pour tout ce que vous dimensionnez sérieusement — et traitez l'extrémité basse de l'intervalle comme votre cas de planification.
- Même marché, mêmes règles. p et W/L doivent venir de la stratégie exacte que vous allez exécuter : même instrument, même timeframe, mêmes règles d'entrée et de sortie, commissions et slippage inclus. Un backtest qui choisit sa meilleure période flatte Kelly plus que n'importe quelle erreur de saisie.
- Attendez-vous à ce que l'avantage dérive. Les avantages de marché s'estompent et les cotes des bookmakers bougent. Réestimez p et b sur une fenêtre glissante et redimensionnez à chaque fois que les chiffres changent. Kelly est une politique, pas un réglage qu'on fait une fois.
- Vérifiez le prix avant la probabilité. En paris, convertissez d'abord la cote proposée en probabilité implicite — votre p doit la dépasser pour qu'il existe une mise Kelly. La Convertisseur de cotes et la Calculatrice de probabilité implicite de ce site font exactement cela.
Utiliser la calculatrice Kelly
La Calculatrice du critère de Kelly prend quatre entrées — taux de réussite (en %), taille du compte, gain moyen et perte moyenne — plus un sélecteur de Kelly fractionnel (25 / 50 / 75 / 100, défaut 50). Elle renvoie :
- Mise optimale — le stake pour la fraction choisie, en monnaie
- % Kelly — la fraction Kelly complète que renvoie la formule
- Esperance — p·W − q·L par mise complète
- Taux de croissance — la croissance logarithmique g par mise pour la fraction sélectionnée
- Rapport gain/perte — b = W/L, la structure de paiement du pari
- Un tableau comparatif des fractions — mise et taux de croissance au quart, à la moitié, aux trois quarts et Kelly complet, pour que le compromis de volatilité se voie d'un coup d'œil
Tout s'exécute dans votre navigateur ; rien n'est envoyé. Si vous travaillez en termes de stop-loss fixe plutôt qu'en gain/perte, la Calculatrice de position est l'outil complémentaire : elle dimensionne une position à partir du % de risque du compte et de la distance du stop, ce qui est le bon cadre quand votre « perte moyenne » est définie par votre stop et non par l'historique.
Kelly face aux autres approches de dimensionnement
Kelly est optimal sous des hypothèses strictes — un pari répété et indépendant avec p et b connus, horizon infini et utilité logarithmique de la richesse. Les marchés réels violent toutes ces hypothèses, donc les professionnels le mélangent à des règles plus simples :
- Risque fractionnel fixe (risquer 1 à 2 % du compte par trade, dimensionné par le stop) : robuste à l'erreur d'estimation et facile à justifier, mais il ne fait jamais monter la mise avec la taille de votre avantage.
- Kelly comme plafond, pas comme cible : dimensionnez par risque fixe, puis prenez le minimum entre celui-ci et (disons) la demi-Kelly. Vous gardez la protection de Kelly contre le surjeu sans sa sensibilité à un p bruité.
- Ciblage de volatilité (dimensionner inversement à la volatilité réalisée) : le cousin du Kelly fractionnel dans le monde des portfolios ; utile quand votre « pari » est une position gérée en continu plutôt que discrète.
Une règle de travail raisonnable : calculez Kelly avec votre meilleure estimation conservatrice de l'avantage ; ne pariez jamais plus de la moitié ; et laissez une règle de risque fixe servir de plancher. Une fois que la stratégie dimensionnée tourne, le ratio de Sharpe est le bon repère pour mesurer comment elle va — et le guide de conversion des cotes montre le pipeline cote → probabilité implicite → Kelly par lequel commencent habituellement les applications de paris.