Kelly-Kriterium: Formel, Beispiele und warum die Hälfte üblich ist

Das Kelly-Kriterium beantwortet eine täuschend einfache Frage: Wenn du eine Edge hast, welchen Anteil deines Bankrolls sollst du auf diesen Einsatz setzen? Es ist die einzige weitverbreitete Sizing-Regel mit einer sauberen mathematischen Eigenschaft — der Anteil, den sie liefert, maximiert die langfristige Wachstumsrate deines Bankrolls. Deshalb taucht es überall auf, von Sportwetten-Blogs bis zu Risiko-Dokumenten von Hedgefonds, und deshalb lohnt es sich, es zu verstehen, bevor man es benutzt: Die Formel ist einfach, die Fehler um sie herum nicht.

Das Kelly-Kriterium sagt nicht voraus, ob du gewinnen wirst. Es nimmt deine Edge als gegeben an — deine Trefferquote und deine durchschnittlichen Gewinne und Verluste — und sagt, welcher Einsatz ein wiederholtes Bankroll am schnellsten wachsen lässt. Ohne Edge gibt es keine Größe, auch keine kleinere. Das Kriterium wurde 1956 von John L. Kelly bei den Bell Labs entwickelt (aufbauend auf früheren Ideen von F. Y. Edgeworth) und wurde durch Edward Thorp populär, der es in einer adaptierten Version nutzte, um beim Blackjack zu gewinnen, bevor er zum Markt-Timing überging.

Die Kelly-Formel

Für eine wiederholte Wette, die durchschnittlich W gewinnt oder durchschnittlich L verliert, ist die volle Kelly-Fraktion:

f* = (b·p − q) / b, äquivalent f* = p − q/b

• p — Wahrscheinlichkeit, die Wette zu gewinnen, 0 < p < 1 (0,60 bei 60 % Trefferquote)
• q — Wahrscheinlichkeit, zu verlieren, q = 1 − p
• b — Gewinn/Verlust-Quote, b = W / L (durchschnittlicher Gewinn geteilt durch durchschnittlichen Verlust)

Vier Schritte zur Berechnung:

1. Schätze p aus einer langen Historie der exakt gleichen Wette bzw. Strategie — mehr Datenpunkte, mehr Vertrauen (siehe die Schätz-Sektion unten).
2. Messe aus derselben Historie den durchschnittlichen Gewinn W und den durchschnittlichen Verlust L, und b = W / L. Bei einer festen Quote ist b die Dezimalquote minus 1: Quote 2,0 ergibt b = 1 (eins zu eins); 2,5 ergibt b = 1,5.
3. Setze f* = (b·p − q) / b ein. Das Ergebnis ist der Anteil deines aktuellen Bankrolls, den du bei jedem Einzelfall der Wette setzen solltest.
4. Multipliziere mit deiner Fraktion — die meisten nutzen 50 % oder 25 % — für den Einsatz, den du tatsächlich platzierst.

Beispiel durchgerechnet

Nehmen wir eine Strategie, die 60 % der Fälle trifft, mit durchschnittlichem Gewinn von 150 $ und durchschnittlichem Verlust von 100 $ auf einem Konto von 10.000 $:

• b = 150 / 100 = 1,5; q = 1 − 0,60 = 0,40
• f* = (1,5 × 0,60 − 0,40) / 1,5 = 0,50 / 1,5 ≈ 33,3 % des Bankrolls
• Volle Kelly-Setzsumme: 33,3 % × 10.000 $ ≈ 3.333 $; Halbe Kelly ≈ 1.667 $; Viertel-Kelly ≈ 833 $

Zwei Checks, die sich einzuprägen lohnen. Bei Eins-zu-eins-Wetten (b = 1) reduziert sich die Formel auf f* = 2p − 1, also stützt eine Trefferquote von 55 % einen Einsatz von 10 % — und 45 % liefert −10 %, was die Formel dir als gar nicht wetten sagt. Ein negatives Kelly ist Information, kein Fehler: Der Preis, den du bekommst, deckt deine Wahrscheinlichkeit nicht.

Was volles Kelly wirklich mit einem Bankroll macht

Volles Kelly maximiert die logarithmische Wachstumsrate pro Wette g = p·ln(1 + b·f) − q·ln(1 − f). Der Trick ist, was diese Maximierung kauft. Bei Eins-zu-eins-Wetten hat ein volles-Kelly-Bankroll ungefähr 50 % Chance, irgendwann auf die Hälfte seines Höchststands zu fallen, und etwa eine Chance in vier, auf ein Viertel seines Höchststands zu fallen. Das ist kein Schwanzrisiko; das ist die normale Textur von vollem Kelly. Die meisten Leute, die zusehen, wie ihr Bankroll das tut, hören auf zu wetten, lange bevor die Mathematik sie dazu bringt.

Es gibt ein zweites, subtileres Problem: Die wahren p und b sind dir unbekannt. Kelly ist maximal aggressiv genau dort, wo seine Eingaben korrekt sind — und seine Eingaben sind Schätzungen. Wenn deine echte Trefferquote 55 % ist, du aber 60 % annimmst, ist dein „volles Kelly"-Einsatz bereits ein Überwetten. Und Überwetten ist auf die falsche Seite asymmetrisch: Weniger als Kelly zu setzen lässt dich nur langsamer wachsen; mehr — 2× Kelly, selbst bei einer leicht überschätzten Edge — macht die erwartete logarithmische Wachstumsrate deines Bankrolls negativ, so dass der Bankroll mit der Zeit gegen null driftet. Zu wenig setzen kostet; zu viel setzen ist ein langsamer Ruin. Diese Asymmetrie ist das gesamte Argument für fraktioniertes Kelly.

Warum die meisten die halbe Kelly (oder weniger) nutzen

Der Standard-Kompromiss, im Regime kleiner Edge, wo die meisten echten Edges leben: Halbe Kelly zu setzen behält etwa 75 % des langfristigen Wachstums, während die Varianz pro Wette auf gut ein Viertel sinkt. Viertel-Kelly behält etwas unter der Hälfte des Wachstums bei etwa einem Sechzehntel der Varianz. Die Wachstum-Risiko-Kurve ist am Anfang steil und wird dann flach — daher ist das praktische Menü Viertel, Halbe und Volle, mit Halbe als Standard für fast alle.

Unser Kelly-Rechner nutzt genau aus diesem Grund halbe Kelly als Standard. Er zeigt für deine Zahlen die Setzsumme und die logarithmische Wachstumsrate pro Wette bei 25 %, 50 %, 75 % und 100 % Kelly nebeneinander, damit du den Kompromiss in deinen eigenen Einheiten siehst und nicht als Abstraktion. Wenn die Kelly-Fraktion null oder negativ herauskommt, sagt er es dir direkt: Setze diese Wette nicht.

Wie man p, W und L schätzt, ohne sich zu täuschen

Die meisten Kelly-Fehler sind Schätzfehler, keine Formelfehler. Gewohnheiten, die die Zahlen ehrlich halten:

• Stichprobengröße zuerst. Eine 60-%-Trefferquote über 20 Wetten hat ein 95-%-Konfidenzintervall von etwa 40 % bis 80 %. Nutze mindestens hundert abgeschlossene Wetten bzw. Trades — mehrere hundert für alles, was du ernsthaft dimensionierst — und behandle das untere Ende des Intervalls als deinen Planungsfall.
• Equaler Markt, equal Regeln. p und W/L müssen aus der exakt gleichen Strategie kommen, die du ausführen wirst: gleiches Instrument, gleicher Zeitrahmen, gleiche Ein- und Ausstiegsregeln, inklusive Gebühren und Slippage. Ein Backtest, der seine beste Phase auswählt, schmeichelt Kelly mehr als jeder Eingabefehler.
• Geh davon aus, dass die Edge driftet. Markt-Edges erlöschen, und Wettquoten bewegen sich. Schätze p und b in einem rollierenden Fenster neu und dimensioniere neu, wann immer sich die Zahlen ändern. Kelly ist eine Policy, keine Einstellung, die man einmal vornimmt.
• Prüfe den Preis vor der Wahrscheinlichkeit. Beim Wetten: Wandle zuerst die angebotene Quote in implizite Wahrscheinlichkeit um — dein p muss sie übertreffen, damit eine Kelly-Setzsumme existiert. Der Quoten-Umwandler und der Implizite-Wahrscheinlichkeits-Rechner dieser Seite machen genau das.

Den Kelly-Rechner nutzen

Der Kelly-Kriterium-Rechner nimmt vier Eingaben — Trefferquote (in %), Kontogröße, durchschnittlicher Gewinn, durchschnittlicher Verlust — plus einen Fraktions-Selector (25 / 50 / 75 / 100, Standard 50). Er liefert:

• Optimaler Einsatz — die Setzsumme für die gewählte Fraktion, in Währung
• Kelly % — die volle Kelly-Fraktion, die die Formel liefert
• Erwartungswert — p·W − q·L pro voller Wette
• Wachstumsrate — die logarithmische Wachstumsrate g pro Wette für die gewählte Fraktion
• Win/Loss-Quote — b = W/L, die Auszahlungsstruktur der Wette
• Eine Fraktions-Vergleichstabelle — Setzsumme und Wachstumsrate bei Viertel, Halbe, Dreiviertel und vollem Kelly, damit der Volatilitäts-Kompromiss auf einen Blick sichtbar ist

Alles läuft in deinem Browser; nichts wird gesendet. Wenn du in festen Stop-Loss-Begriffen statt in Gewinn/Verlust-Begriffen denkst, ist der Positions-Größe-Rechner das ergänzende Werkzeug: Er dimensioniert eine Position aus dem Risiko-Prozent des Kontos und der Stop-Distanz, was der richtige Rahmen ist, wenn dein „durchschnittlicher Verlust" durch deinen Stop definiert wird und nicht durch die Historie.

Kelly im Vergleich zu anderen Sizing-Annäherungen

Kelly ist optimal unter strengen Annahmen — eine wiederholte, unabhängige Wette mit bekannten p und b, unendlicher Horizont, logarithmische Nutzenfunktion auf dem Reichtum. Echte Märkte verletzen all diese Annahmen, deshalb mischen Profis es mit einfacheren Regeln:

• Feste Fraktions-Risikolimit (1–2 % des Kontos pro Trade riskieren, dimensioniert über den Stop): Robust gegen Schätzfehler und leicht zu verteidigen, aber skaliert die Setzsumme nie mit der Größe deiner Edge.
• Kelly als Deckel, nicht als Ziel: Dimensioniere nach festem Risiko, dann nimm das Minimum davon und (sagen wir) halber Kelly. Du behältst Kellys Schutz vor Überwetten ohne seine Empfindlichkeit gegenüber einem verrauschten p.
• Volatilitäts-Targeting (dimensioniert invers zur realisierten Volatilität): Der Cousin von fraktioniertem Kelly in der Portfolio-Welt; nützlich, wenn deine „Wette" eine fortlaufend gemanagte Position ist statt einer diskreten.

Eine vernünftige Arbeitsregel: Berechne Kelly mit deiner besten konservativen Edge-Schätzung; setze nie mehr als die Hälfte; und lasse eine feste Risiko-Regel als Boden dienen, gegen den du prüfst. Wenn die dimensionierte Strategie läuft, ist der Sharpe-Ratio der richtige Maßstab, um zu messen, wie sie läuft — und der Quote-Umwandler-Guide zeigt den Pipeline Quote → implizite Wahrscheinlichkeit → Kelly, mit dem Wetten-Anwendungen typischerweise anfangen.