Was zeigt der Realzins-Rechner?

Zwei Realzinsen aus einem nominalen Satz und einer Inflation: den exakten Fisher-Wert (1 + i) / (1 + π) - 1, die schnelle Subtraktion i - π und die Differenz dazwischen. Bei 5 % Nominal und 2 % Inflation ist der exakte 2,94 % und der schnelle 3,00 %, die Abkürzung kostet 0,06 Punkte. Nichts wird hochgeladen.

Warum ist die exakte Antwort niedriger als die Subtraktion?

Weil das Dividieren durch (1 + π) das Wachstum stärker kürzt als das Subtrahieren von π. Die geschlossene Form der Lücke ist (i - π) × π / (1 + π), die schnelle Antwort multipliziert mit der Inflation, also rundet die Abkürzung, solange beide klein sind, auf dieselbe Zahl, und die Lücke wird erst bei großen Zinsen sichtbar: 100 % Nominal bei 50 % Inflation geben 33,33 % exakt gegen 50 % subtrahiert.

Bedeutet ein negativer Realzins, dass ich Geld verliere?

Es bedeutet, dass die Kaufkraft fällt, während das Guthaben wächst. Bei 5 % Nominal und 10 % Inflation ist der exakte Realzins -4,55 %: das Konto fügt 5 % Ziffern hinzu, aber die Preise nehmen 10 % des Werts, also schrumpfen die Güter, die das Geld kauft, im exakten Sinn. Ein Null-Realzins, wie 10 % Nominal bei 10 % Inflation, hält den Güterkorb flach.

Welchen Zinssatz soll ich für Anlagevergleiche nehmen?

Den exakten Realzins. Jede Zahl darunter, eine CAGR, eine Anleihe-Prämie, ein Futures-Preis, der zum Finanzierungssatz gewälzt wurde, erbt die Korrektur nur, wenn Sie von (1 + i) / (1 + π) - 1 starten und nicht von i - π. Das Tool druckt beide, damit der Preis der Abkürzung sichtbar ist; nutzen Sie die Subtraktion für eine Schätzung aus dem Kopf und den exakten Wert für jede Zahl, die Sie verwenden werden.

Realzins-Rechner: Wie aus 5 % Nominal bei 2 % Inflation 2,94 % Real Werden, mit der Fisher-Gleichung, dem Annäherungsfehler und der 112-Zellen-Matrix erklärt

Q: Wofür ist die 112-Zellen-Matrix da?

Sie ist der exakte Realzins, gelaufen für jeden Nominal von 2 % bis 15 % gegen jede Inflation von 1 % bis 8 %, mit einer Dezimale gedruckt. Farbbänder: Smaragd ab 4 %, Grün von 2 bis 4, Gelb von 0 bis 2, Orange von -1 bis 0, Rot unter -1. Ihre Zeile und Spalte sind hervorgehoben und die exakte Zelle bekommt einen Ring, damit Sie sehen, wo Ihr Paar in der ganzen Tabelle sitzt.

Ein nominaler Zinssatz ist die Zahl, die die Bank druckt; der Realzins ist, was das Geld wirklich tut. Der Realzins-Rechner nimmt einen nominalen Zinssatz und eine Inflationsrate und liefert zwei Antworten: den exakten Realzins aus der Fisher-Gleichung, (1 + i) / (1 + π) - 1, und die schnelle Subtraktion i - π. Bei 5 % Nominal und 2 % Inflation ist die exakte Antwort 2,94 % und die schnelle 3,00 %: 0,06 Punkte auseinander. Das Tool zeichnet außerdem eine 112-Zellen-Matrix aus Realzinsen für Nominalsätze von 2 % bis 15 % gegen Inflation von 1 % bis 8 %, farbig banded nach dem, wie gut das Geld wirklich wächst. Nichts wird hochgeladen; die Arithmetik läuft im Browser.

Zwei Antworten: exakt und annähernd

Die exakte Formel teilt das Wachstum durch die Preise: eine Einlage, die 1,05 auf jeden Dollar des Kapitals bringt, während die Preise 2 % steigen, behält einen realen Faktor von 1,05 / 1,02 = 1,02941, also 2,94 %. Die Näherung subtrahiert nur: 5 - 2 = 3. Die Lücke dazwischen ist zweiter Ordnung. Bei 10 % Nominal und 4 % Inflation ist die exakte 5,77 % gegen 6 % subtrahiert, eine Lücke von 0,23 Punkten; bei 100 % Nominal und 50 % Inflation ist die exakte 33,33 %, während die Subtraktion 50 % sagt, die schnelle Antwort liegt 16,67 Punkte zu hoch. Die Abkürzung ist besser, wenn beide Zinsen klein sind, und schlechter, wenn sie groß; der Rechner druckt die Differenz, damit der Preis der Abkürzung sichtbar ist.

Was der Realzins bedeutet: Kaufkraft

Der Realzins ist eine Aussage über Güter, nicht über Ziffern. Bei 5 % Nominal und 2 % Inflation werden 100 Dollar Kapital in der Bank zu 105, während sich die Preise auf 1,02 bewegen, also ist der Korb, den das Geld kauft, 105 / 1,02 = 102,94 zu alten Preisen wert. Der Inflationskraft-Rechner arbeitet die andere Richtung derselben Identität: er nimmt den heutigen Betrag und die heutige Inflation und zeigt, wie viel Kaufkraft nach einem Jahr bleibt, der Realzins rückwärts angewendet. Wenn der Realzins negativ ist, wie bei 5 % Nominal gegen 10 % Inflation, ist der exakte Realzins -4,55 %: das Guthaben wächst auf dem Kontoauszug, kauft aber jeden Monat weniger.

Warum (1 + i) und nicht i

Die Fisher-Identität lautet (1 + r)(1 + π) = 1 + i: ein Dollar wächst (1 + i) in der Bank und (1 + π) im Preisniveau, also ist das reale Wachstum r der Multiplikator, der beide gleich macht. Nach r aufgelöst ergibt sich r = (1 + i) / (1 + π) - 1: eine Division, keine Subtraktion. Irving Fisher schrieb die Identität 1930 in The Theory of Interest; es ist dieselbe Algebra wie der Zinseszins, mit dem Index der Preise an der Stelle des wiederinvestierten Zinses. Der Zinseszins-Rechner zeigt denselben Wachstumsfaktor (1 + i) beim Komponieren, und der ganze Abstand zwischen nominal und real ist genau einer dieser Wachstumsfaktoren, ersetzt durch das Preisniveau.

Die 112-Zellen-Matrix

Unter den zwei Antworten zeichnet das Tool eine Tabelle: nominale Zinssätze von 2 % bis 15 % oben, Inflation von 1 % bis 8 % an der Seite, 14 × 8 = 112 Zellen, jede mit einer Dezimale des exakten Realzins gedruckt. Die Zellen tragen Farbbänder: Smaragd ab 4 %, Grün von 2 bis 4, Gelb von 0 bis 2, Orange von -1 bis 0, Rot unter -1. Die Zeile und die Spalte Ihrer Eingabe sind hervorgehoben, und die exakte Zelle bekommt einen Ring. Die Tabelle lesen: bei 8 % Inflation bringt ein Nominal von 15 % nur 6,5 % real; bei 1 % Inflation bringt ein Nominal von 12 % 10,9 %. Der Zinseszins-Führer geht dieselbe (1 + i)-Mechanik für eine einzelne Anlage durch; die Matrix ist das gerechnete 112 Mal auf einmal.

Wann die Abkürzung reicht

Die Lücke hat eine geschlossene Form: exakt minus subtrahiert ist (i - π) × π / (1 + π), die schnelle Antwort multipliziert mit der Inflation, kaum abgezinst. 5 % und 2 % kosten 0,06 Punkte; 10 % und 4 % kosten 0,23; 100 % und 50 % kosten 16,67. Solange beide Zinssätze klein bleiben, rundet die Abkürzung auf dieselbe Zahl wie der exakte Wert, und deshalb überlebt die 72er-Regel als das merkenswürdige Pendant von all dem: das Geld verdoppelt sich in 72 geteilt durch den Zinssatz. Der Führer der 72er-Regel ist dieselbe Familie von Näherungen; beide tauschen eine Multiplikation gegen eine Division, die das Gehirn machen kann.

Der Realzins in anderen Ecken

Die Fisher-Identität versteckt sich an mehreren Orten. Der Umwandlungswert einer Wandelanleihe ist so viel wert wie das reale Wachstum der zugrunde liegenden Aktie, und die Prämie wird gegen die erwartete nominale versus reale Rendite bepreist: der Wandelanleihen-Rechner führt genau diese Aufteilung aus. Die Bewertung von Futures trägt den Zinssatz im Carry: der Futures-Vertrags-Rechner nutzt den nominalen Finanzierungssatz, um Spot nach Forward zu wälzen. Und wenn man eine reale Gewinnrate annualisiert, geht der Realzins direkt in die CAGR ein: der CAGR-Führer zeigt die Form (Ende/Anfang)^(1/Jahre) - 1, dieselbe Form wie die Fisher-Division mit den Jahren im Exponenten. Fangen Sie bei der realen Zahl an, 2,94 % und nicht 3, und jede Zahl unterhalb erbt die Korrektur.