Die CAGR Berechnen: Die Formel, warum sie der geometrische Mittelwert ist, wie sie sich von der Gesamtrendite und einem einfachen Durchschnitt unterscheidet, negative CAGR, und wann man den IRR verwendet

Die CAGR (Compound Annual Growth Rate, annualisierte Wachstumsrate) ist der einzelne geglättete Prozentsatz, der dir sagt, wie stark eine Anlage im Durchschnitt pro Jahr über einen Zeitraum von mehr als einem Jahr gewachsen ist. Sie drückt ein unruhiges Jahr-für-Jahr-Fahren mit Höhen und Tiefen zu einer einzigen sauberen Jahreszahl zusammen, die du mit anderen Anlagen und mit deinen eigenen Zielen vergleichen kannst. Die Formel ist kompakt: Die CAGR ist der Endwert geteilt durch den Anfangswert, hoch mit einem dividiert durch die Anzahl der Jahre, minus eins. Für eine Position über 10.000 $, die über fünf Jahre auf 16.105 $ wuchs, ist das (16.105 / 10.000)^(1/5) - 1, eine CAGR von exakt 10 %. Du kannst es selbst im CAGR-Rechner nachvollziehen, der die CAGR zusammen mit der Gesamtrendite und dem einfachen Durchschnitt zurückgibt, damit du genau siehst, woher der Unterschied kommt.

Was die CAGR tatsächlich misst

Die CAGR ist der geometrische Mittelwert des Wachstums, nicht der arithmetische. Wo ein einfacher Durchschnitt die Rendite jedes Jahres addiert und durch die Anzahl der Jahre teilt, beantwortet die CAGR eine andere Frage: Mit welcher einzigen konstanten Rate, von Jahr zu Jahr verzinst, wärst du vom Anfangswert zum Endwert gekommen? Genau deshalb ist sie die richtige Zahl, um Anlagen, Fonds und Unternehmenswachstum über mehrere Jahre zu vergleichen, weil sie den Tatsachen gerecht wird, dass sich Renditen aufeinander verzinsen.

Die Verzinsung ist der eigentliche Kern, und deshalb ist die CAGR nur für Zeiträume von mehr als einem Jahr sinnvoll. Eine Rate, die sich nur einmal verzinst, ist nur eine Rate; die annualisierte Glättung, die die CAGR liefert, hat erst dann etwas zu tun, wenn das Wachstum mehrere Zyklen hatte, auf die es aufbauen konnte. Wenn du mit der inneren Mechanik der Verzinsung nicht vertraut bist, lohnt sich ein Blick auf den Zinseszins-Rechner für fünf Minuten, bevor du dich auf die Zahl verlässt.

Die Formel, ausgerechnet

Die Arbeitsform lautet CAGR = (Endwert / Anfangswert)^(1/n) - 1, wobei n die Anzahl der Jahre ist. Wende sie auf einige realistische Szenarien an, und das Muster ist intuitiv:

• Von 10.000 $ auf 20.000 $ in 10 Jahren: (2)^(1/10) - 1, etwa 7,18 %
• Von 10.000 $ auf 50.000 $ in 10 Jahren: (5)^(1/10) - 1, etwa 17,46 %
• Von 10.000 $ auf 100.000 $ in 20 Jahren: (10)^(1/20) - 1, etwa 12,20 %

Der Exponent, eins durch n, ist das, was einen Gesamt-Multiplikator in eine Jahresrate verwandelt. Es ist dieselbe Mathematik, die die 72er-Regel abkürzt: Um sich bei etwa 8 % zu verdoppeln (ein Multiplikator von 2), brauchst du grob 72 / 8, neun Jahre. Wenn du den schnellen mentalen Check willst, wie lange eine gegebene CAGR braucht, um dein Geld zu verdoppeln, zu verdreifachen oder zu vervierfachen, ist der 72er-Regel-Rechner der schnellste Weg, es im Kopf zu erledigen.

Warum die CAGR weder die Gesamtrendite noch ein einfacher Durchschnitt ist

Zwei weitere Zahlen reisen mit der CAGR, und es hilft, sie klar zu trennen. Die Gesamtrendite ist einfach (Endwert minus Anfangswert) geteilt durch den Anfangswert, ohne jede Zeitnormalisierung: Sich über fünf Jahre zu verdoppeln ist eine Gesamtrendite von 100 %, ob es fünf Jahre oder eines gedauert hat. Der einfache Durchschnitt teilt die Gesamtrendite durch die Anzahl der Jahre, was schnell ist, aber als Wachstumsrate falsch, weil es ignoriert, dass sich der Gewinn jedes Jahres auf der Basis des Vorjahres verzinst.

Der klassische Weg, den Unterschied zu sehen, ist der Pfad runter und wieder rauf. Verliere ein Jahr 50 % und gewinne im nächsten 100 %: Du landest genau dort, wo du gestartet bist, also ist die CAGR 0 %. Aber der einfache Durchschnitt von -50 % und +100 % ist +25 %, eine Zahl, die das tatsächliche Ergebnis weit übertreibt. Die CAGR weigert sich, diesen Fehler zu machen, weil sie geometrisch ist. Wenn du eine CAGR mit der rohen, nicht annualisierten Rendite einer einzelnen Anlage vergleichen willst, liefert dir der ROI-Rechner diese Rendite für den Vergleich.

Negative CAGR, Bruchjahre und Grenzfälle

Die CAGR kann negativ sein, und wenn sie es ist, ist das Information, kein Fehler. Wenn der Endwert unter dem Anfangswert liegt, ist der Wert in den Klammern kleiner als eins, und eine Zahl kleiner als eins auf eine positive Potenz gehoben bleibt kleiner als eins, also ist das Ergebnis eine negative Rate: Die Anlage hat über den Zeitraum auf annualisierter Basis an Wert verloren. Ein Fonds, der über vier Jahre von 10.000 $ auf 7.000 $ fiel, hat eine CAGR von etwa -8,5 % - eine weit ehrlichere Zusammenfassung als das vage „er verlor über vier Jahre 30 %“.

Der Zeitraum muss keine ganze Zahl an Jahren sein. Da n im Nenner des Exponenten steht, kannst du Brüche eingeben: Eine Haltedauer von achtzehn Monaten ist 1,5 Jahre, und die Formel annualisiert weiterhin korrekt. Die einzige harte Beschränkung ist, dass der Anfangswert positiv sein muss, weil die gesamte Konstruktion auf einem Verhältnis beruht. Eine Position, die bei null begann, oder ein reiner Strom aus Zahlungsflüssen ohne sauberen Start- und Endsaldo, passt gar nicht zur CAGR - genau dann übernimmt ein anderes Werkzeug.

Wenn die CAGR die falsche Antwort gibt: unregelmäßige Zahlungsströme

Die CAGR setzt einen einzigen Pauschalbetrag zum Anfang voraus, der bis zum Ende unangetastet bleibt. Sobald während des Zeitraums Geld hinein- oder herausfließt, bricht diese Annahme. Wenn du monatlich in einen Fonds einzahlst, einen Teil verkaufst oder Dividenden reinvestierst, gibt es keinen einzelnen Start- und Endsaldo, der deine Erfahrung darstellt, und eine einfache CAGR, berechnet über zwei beliebige Zahlen, kann in beide Richtungen irreführend sein.

Das richtige Maß für ungleiche Zahlungsströme ist die interne Verzinsung, IRR, die die Abzinsungsrate findet, die den Barwert jedes Zahlungsflusses exakt null macht, und ihr nach dem Geld gewichteter Cousin, die annualisierte XIRR, macht dieselbe Arbeit auf einer täglichen Zeitbasis. Der IRR-Rechner berechnet diese Rate für dich, und der Artikel über die interne Verzinsung erklärt, wann man dem IRR mehr trauen sollte als der CAGR.

Die CAGR allein reicht nicht: Kombiniere sie mit dem Risiko

Hier ist die Einschränkung, die die meisten am meisten überrascht. Die CAGR glättet die Volatilität vollständig weg. Zwei Anlagen können über dieselben zehn Jahre eine identische CAGR von 12 % teilen, wobei eine eine langsame, stabile Treppe ist, während die andere ein wildes Hin- und Her ist, das unterwegs 60 % einbrach, bevor es sich wieder aufrappelte. Die CAGR sieht den Unterschied nicht, also wird sie dir nie sagen, welche du durch eine schlechte Phase wirklich hätte halten können.

Deshalb liest sich eine CAGR besser neben einem Maß für den Schmerz, den sie mit sich brachte. Kombiniere sie mit dem maximalen Drawdown, dem größten Absturz von Spitze auf Tal, um die tiefste Delle zu sehen, durch die du durchgemusst hast, und mit dem Sharpe-Verhältnis, um zu sehen, wie viel Rendite du pro Einheit Volatilität verdient hast. Der Drawdown-Rechner quantifiziert diesen Absturz von Spitze auf Tal, und die Anleitung zum Sharpe-Verhältnis presst den Ertrag-gegen-Risiko-Abtausch auf eine einzige Zahl. Lies eine CAGR mit ihnen daneben, und sie ist nicht länger ein einzelner schmeichelhafter Prozentsatz, sondern wird zu einem ehrlichen Bild davon, wie schnell eine Anlage gewachsen ist und wie rau die Fahrt war.