Une simulation Monte Carlo sur actions répond à une question qu'aucune prévision seule ne peut jamais répondre : non pas où sera le cours, mais toute la forme de l'endroit où il pourrait se trouver. Faites passer le même cours de départ, le même rendement et la même volatilité à travers plusieurs centaines de trajectoires aléatoires et, au lieu d'un seul chiffre, vous obtenez une distribution, une moyenne, une médiane, les percentiles qui marquent les queues optimiste et pessimiste, et la probabilité pure que l'action finisse au-dessus du prix auquel vous l'avez achetée. Le Simulateur de Monte Carlo d'Actions fait exactement cela : saisissez un cours actuel, un rendement annuel, une volatilité annuelle, un horizon temporel et un nombre de trajectoires, et il vous renvoie le prix moyen, la médiane, les percentiles de 5 à 95, la probabilité de gain et un histogramme des résultats.
Ce que fait la simulation : une action, cinq cents futurs possibles
Chaque trajectoire est une vie possible de l'action. L'outil tire un choc aléatoire d'une loi normale, l'échelle selon la volatilité et la longueur de l'horizon, le capitalise sur le cours de départ, puis répète l'ensemble cinq cents fois par défaut. Aucune deux trajectoires ne sont identiques, et aucune n'est la vérité, mais ensemble elles tracent la plage de résultats que les hypothèses autorisent. Une prévision de croissance ordinaire ne vous donne qu'un point de ce nuage, et c'est souvent le point optimiste, parce qu'une prévision ordinaire suppose que le rendement tombe exactement sur la cible chaque année. La simulation vous montre ce qui se passe quand le rendement, et la volatilité qui l'entoure, ne tombent pas sur la cible.
C'est pourquoi la sortie est une forme plutôt qu'un chiffre. Les cinq cents prix terminaux, triés du plus mauvais au meilleur, sont la distribution que les hypothèses du marché impliquent, et chaque chiffre principal que l'outil renvoie, la moyenne, la médiane, les percentiles et la probabilité de gain, n'est qu'une mesure prise sur cette unique liste triée. Changez les entrées et la forme bouge, mais la logique pour la lire reste la même quelle que soit l'action à laquelle vous la pointez.
Le moteur : le mouvement brownien géométrique et le prix lognormal
Les mathématiques sous le capot sont le mouvement brownien géométrique, le même processus continu dans le temps que le modèle Black-Scholes sur options utilise, et la calculatrice Black-Scholes est l'autre instrument construit sur exactement ce moteur. Le prix terminal est le cours de départ multiplié par une exponentielle : la dérive, qui est le rendement annuel moins la moitié de la variance, multipliée par la fraction d'année, plus la volatilité multipliée par la racine carrée de cette fraction multipliée par un tirage aléatoire normal standard. L'exponentielle est ce qui garde chaque trajectoire positive, une action ne peut pas s'échanger à un prix négatif, et c'est ce qui rend la distribution du prix terminal lognormale, asymétrique vers la droite avec une longue queue de gros gains rares.
Deux conséquences de la forme lognormale comptent pour lire le résultat. Premièrement, la moyenne des trajectoires, la moyenne, se situe au-dessus du milieu des trajectoires, la médiane, parce que la queue de droite tire la moyenne vers le haut. Deuxièmement, la volatilité entre deux fois, une fois dans la dérive comme le frein de moins la moitié de la variance, et une fois dans le choc aléatoire, c'est pourquoi une action à haute volatilité avec le même rendement espéré qu'une action à faible volatilité finit avec une dispersion des résultats plus épaisse, plus de grosses pertes comme de gros gains. La même exponentielle écrite étape par étape pour le cas d'option est dans l'article sur le calcul d'un prix d'option Black-Scholes, et les deux outils partagent la ligne dérive-plus-choc presque mot pour mot.
Le cas canonique : une action à 150 $ avec 10 % de rendement et 20 % de volatilité
Lancez le cas que l'outil propose. Une action à 150 $, un rendement annuel de 10 %, une volatilité annuelle de 20 %, un horizon de 252 jours de négociation, c'est-à-dire un an, et cinq cents trajectoires. La dérive pour l'année est 10 % moins la moitié de 4 %, le carré de 20, soit 8 %, et le terme aléatoire est 20 % multiplié par un tirage normal standard. Cinq cents trajectoires atterrissent avec une moyenne de 165,78 $, un gain de 10,52 % par rapport au départ, et une médiane de 162,49 $, un gain de 8,33 %. L'écart entre les deux, environ 3 $, est l'asymétrie lognormale en dollars : la moyenne court plus haut parce qu'une poignée de trajectoires explose vers le haut.
Les percentiles cartographient les queues. Le 5e percentile, le prix que 95 % des trajectoires dépassent, est 116,94 $, une perte de 22,04 %. Le 25e percentile est 141,99 $, une perte de 5,34 %, donc un quart des futurs est encore sous l'eau. Le 50e percentile est la médiane à 162,49 $, en hausse de 8,33 %. Le 75e percentile est 185,96 $, un gain de 23,97 %, et le 95e percentile est 225,79 $, un gain de 50,53 %. Donc sur la moitié centrale de la distribution, entre le 25e et le 75e percentile, l'action finit n'importe où entre une perte de 5,34 % et un gain de 23,97 %, et la probabilité de finir au-dessus du départ de 150 $ est de 65,54 %.
Lire la distribution : la moyenne contre la médiane, et l'histogramme
L'histogramme dessine la distribution comme dix barres de la pire trajectoire à la meilleure, chaque barre une fourchette de prix et sa part des trajectoires. Dans le cas canonique, les barres se regroupent autour de la zone 160 à 175 $, le milieu de la distribution, et s'amincissent vers les deux extrémités, la queue de gauche atteignant la zone des 110 $ et la queue de droite dépassant 225 $. La barre la plus haute est la zone de prix la plus probable, ni la moyenne ni la médiane, mais le mode, et pour une lognormale asymétrique à droite les trois s'alignent dans l'ordre mode, médiane, moyenne de gauche à droite.
Là où les trois se séparent vous indique l'asymétrie. Si la moyenne était égale à la médiane, la distribution serait symétrique, mais ici la moyenne à 165,78 $ court au-dessus de la médiane à 162,49 $, la queue de droite tire. La probabilité de gain, 65,54 %, est au-dessus de 50 bien que l'histoire soit un rendement espéré modeste de 10 %, parce que le départ à 150 $ se situe à gauche de la médiane, donc plus de la moitié des trajectoires le dépassent. Lisez la médiane comme ce qu'une trajectoire typique individuelle fait, la moyenne comme ce que la moyenne de nombreuses années répétées ferait, et les percentiles comme les bornes honnêtes de la mesure dans laquelle l'année pourrait se révéler meilleure ou pire.
Tester les hypothèses : des horizons plus longs, des queues plus épaisses, et les limites du modèle
Changez une entrée à la fois et la distribution bouge de façons prévisibles. Étirez l'horizon à cinq ans avec le même rendement de 10 % et la même volatilité de 20 % et la médiane grimpe à 223,77 $, la moyenne à 247,31, et la probabilité de gain monte à 81,45 %, parce que la dérive se capitalise sur cinq ans tandis que le terme aléatoire ne croît qu'avec la racine carrée du temps. La dispersion s'élargit aussi considérablement : le 5e percentile tombe à 107,24 $ et le 95e monte à 466,96, donc cinq ans de volatilité à 20 % font un nuage bien plus large qu'un an, et cette largeur est le coût réel de l'incertitude que vous détenez.
Les limites du modèle sont aussi importantes que la sortie. Premièrement, il suppose que le rendement et la volatilité que vous saisissez restent constants, mais les rendements et volatilités réels sont eux-mêmes aléatoires, donc la vraie distribution est plus épaisse que n'importe quel jeu de paramètres unique ne l'impose. Deuxièmement, le mouvement brownien géométrique n'a pas de sauts, pas de krachs, pas de lacunes, donc il sous-estime la queue de gauche pour une action qui peut chuter d'un jour à l'autre. Troisièmement, les percentiles viennent de cinq cents trajectoires, ce qui suffit pour lire la forme mais pas pour citer un 1er percentile à trois décimales près, et l'outil plafonne le nombre de trajectoires à cinq cents pour le navigateur. La base déterministe que cette simulation floute est la croissance composée ordinaire, traitée dans la calculatrice d'intérêts composés et l'article sur les intérêts composés : à 10 % par an, l'action de 150 $ atterrirait exactement à 165 $ avec une dispersion nulle, et la moyenne de la simulation à 165,78 $ se tient à moins d'un dollar de ça, le petit écart étant la convention de capitalisation continue contre discrète, tandis que tout l'enjeu est la dispersion autour, de 116,94 à 225,79 $, qu'un seul chiffre déterministe ne peut pas montrer.
Utiliser le simulateur et transformer une probabilité en une position
Le flux de travail consiste à régler les entrées que vous croyez vraiment, pas les valeurs par défaut : un cours actuel tiré de la cote en direct, un rendement que vous êtes prêt à défendre, et une volatilité qui correspond à l'historique récent de l'action, puis lisez les trois chiffres qui comptent, la probabilité de gain, la médiane comme résultat typique, et le 5e percentile comme le pire cas sur cinq exécutions sur cent. Une fois l'année terminée et que vous avez un prix terminal réalisé, la calculatrice de CAGR transforme ce prix de nouveau en le taux annuel que la trajectoire a réellement livré, et pour savoir de combien la pire trajectoire pourrait chuter depuis son pic avant de se reprendre, l'article sur le drawdown maximal est le prisme de risque correspondant sur la même trajectoire simulée.
Si la probabilité de gain et le risque des queues ensemble dépassent votre seuil, la dernière étape est la taille, et c'est là que la simulation passe la main à la calculatrice du critère de Kelly. La probabilité de 65,54 % de gain est l'entrée d'une formule de dimensionnement de mise, et la forme de la distribution vous dit combien vous êtes prêt à vous tromper. La simulation ne vous dit pas que le rendement est certain ; elle vous dit les cotes, les queues, et la taille du gain et de la perte typiques, et transformer ça en une mise que vous pouvez survivre est la dernière, et unique, étape qui dépend de vous.