La probabilité implicite est le pourcentage caché dans le prix. Quand un bookmaker affiche 2,10 pour une victoire à domicile, ou qu'un marché d'options montre un call avec un delta de 0,50, chaque chiffre contient déjà une estimation de la fréquence avec laquelle le résultat arrive, et tout le travail de la probabilité implicite est de décoder ce chiffre et de le ramener en un pourcentage que vous pouvez comparer à votre propre estimation. La Calculatrice de Probabilité Implicite fait ce décodage dans les deux sens : elle transforme n'importe quelle probabilité affichée en cotes décimales, américaines et fractionnaires, et elle prend le delta d'une option, le strike et la prime, puis lit la probabilité que l'option finisse dans l'argent, plus le prix de seuil des deux côtés.
Qu'est-ce que la probabilité implicite : le pourcentage caché dans le prix
Une cote décimale est une probabilité déguisée. La conversion tient en une ligne d'arithmétique : diviser 100 par la cote décimale. À 1,67, la probabilité implicite vaut 100 ÷ 1,67 = 59,88 %. À la parité, 2,00, le marché dit exactement 50 %. À 3,00 la chance est de 33,33 %, à 4,50 de 22,22 %, à 1,20 de 83,33 %, et sur un long shot à 10,00 le marché évalue le résultat à 10 %. Plus la cote décimale est longue, plus la probabilité est petite, et la relation est inverse : doubler le prix divise exactement par deux la chance implicite.
La lire en sens inverse, c'est là que le chiffre devient utile. Une cote de 1,67 n'est pas vraiment une table de paiements, c'est l'affirmation du marché que l'événement arrive environ six fois sur dix. Une fois que toutes les cotes sont sur la même échelle de pourcentage, une victoire à domicile à 2,10, un match nul à 3,40 et un call à 0,50 de delta peuvent se comparer côte à côte, et cette comparaison est tout l'intérêt de la probabilité implicite. Le sens inverse, partir d'une probabilité pour produire les cotes, est couvert dans la section suivante.
Convertir chaque format de cotes en pourcentage
Les cotes décimales sont les plus simples car la formule est la directe : 100 divisé par la cote. Les deux autres formats se ramènent d'abord en décimal. Les cotes américaines portent un signe. Une cote américaine négative de -150 signifie que le parieur doit risquer 150 pour gagner 100, et la probabilité implicite vaut 150 ÷ 250, soit 60 %. Une cote positive de +150 paie 150 pour une mise de 100, donc la probabilité vaut 100 ÷ 250, soit 40 %. La même règle donne à -400 une probabilité implicite de 80 % et à +1000 un long shot de 9,09 %.
Les cotes fractionnaires a sur b se convertissent avec 100 × b sur a + b. La classique 2/3 devient 300 sur 5, soit 60 %. Une cote 5/2 vaut 200 sur 7, soit 28,57 %. Un long shot 10/1 vaut 100 sur 11, soit 9,09 %, et une cote 4/1 vaut 100 sur 5, soit 20 %. Le pas à pas complet de conversion des cotes, y compris la façon dont les règles d'arrondi américaines se comportent à la frontière entre positif et négatif, est écrit étape par étape dans l'article compagnon, et l'outil Convertisseur de Cotes fait la conversion en trois formats en un clic pour n'importe quelle valeur que vous avez sous la main.
L'outil fonctionne dans l'autre sens aussi, d'une probabilité vers les trois formats. Saisissez 60 et il renvoie 1,67 en décimal, -150 en américain et 2/3 en fractionnaire, où le ratio 40 pour 60 est réduit par son plus grand commun diviseur. Saisissez 40 et vous obtenez 2,50, +150 et 3/2. Saisissez 50 et les trois formats concordent à la parité : 2,00, +100 et 1/1. Saisissez 80 et vous obtenez le grand favori 1,25, -400 et 1/4. Saisissez 25 et vous obtenez 4,00, +300 et 3/1, et saisissez 10 pour le long shot 10,00, +900 et 9/1. La colonne américaine est toujours arrondie à l'entier, c'est pour cela qu'une probabilité de 33,33 s'affiche comme +200 plutôt que +199,9 ou +200,1.
Retirer la marge du bookmaker : des probabilités justes d'un marché à trois issues
Voici la partie qui fait trébucher. Prenez un match de football coté à 2,10 pour une victoire à domicile, 3,40 pour le match nul et 3,60 pour une victoire à l'extérieur. Convertissez chacune : 100 sur 2,10 fait 47,62 %, 100 sur 3,40 fait 29,41 %, et 100 sur 3,60 fait 27,78 %. Additionnez et vous obtenez 104,81 %, ce qui est impossible pour un marché avec exactement un vainqueur. Les 4,81 points en plus sont la marge du bookmaker, l'overround, et c'est le frais que le marché prend par-dessus les probabilités vraies.
Le correctif est la normalisation. Divisez chaque probabilité implicite par le total de 104,81 : la victoire à domicile descend de 47,62 à 45,43 %, le match nul de 29,41 à 28,06, et la victoire à l'extérieur de 27,78 à 26,50. Les trois font maintenant exactement 100 % et ce sont les probabilités justes cachées sous la marge. La marge elle-même se cote de deux façons, en 4,81 points d'overround, ou en 4,59 % du total du pool, qui vaut 4,81 ÷ 104,81. Les deux décrivent le même frais, l'un en points absolus et l'autre relatif à la taille du marché.
Pourquoi se donner la peine ? Parce que les bookmakers cotent le même match à des prix légèrement différents, et les cotes brutes ne rendent pas la comparaison visible. Un 2,10 d'un book et un 2,12 d'un autre se voient quasi identiques, mais après normalisation la probabilité juste du domicile diffère de près d'un demi-point, et ce demi-point est toute la différence de valeur entre les deux cotes. Les probabilités normalisées sont aussi le bon point de base pour les deux sections suivantes, parce que quand vous comparez votre estimation au marché, vous voulez la comparer à la vision juste du marché, pas à une vision gonflée par la marge.
La probabilité implicite en options : le delta comme chance de finir dans l'argent
La probabilité implicite a un second foyer en options, où elle répond à une autre question : quelles sont les chances que cette option expire dans l'argent ? L'abréviation standard est le delta. Le delta d'option est couramment utilisé comme une approximation grossière de la probabilité que l'option expire dans l'argent, donc un call avec un delta de 0,50 porte une probabilité implicite de 50 %, un delta de 0,30 porte 30 %, un 0,90 porte 90 %, et un 0,10 est le billet de loterie des 10 %. La table de delta de la calculatrice attache des étiquettes en langage clair à la même échelle : 0,10 très improbable, 0,30 improbable, 0,50 parité, 0,70 probable, 0,90 très probable, et 0,95 presque certain.
Le mode delta demande trois entrées et renvoie quatre nombres. Saisissez un delta de 0,50, un strike de 100 et une prime de 3, et il rapporte 50 % dans l'argent, 50 % hors de l'argent, un seuil de call de 103 $ et un seuil de put de 97 $. L'arithmétique du seuil tient en une ligne de chaque côté : un call a besoin que le prix couvre la prime, donc le seuil est strike + prime, 100 + 3 = 103, et le sous-jacent doit monter de 3,00 % juste pour rendre le coût de l'option. Un put a besoin que le prix baisse de la prime, donc 100 − 3 = 97, une baisse de 3,00 %. Un second exemple, delta 0,30 avec un strike de 110 et une prime de 2,50, donne 30 % dans l'argent et un seuil de call de 112,50 $, ce qui est un mouvement de 2,27 % sur le strike de 110.
L'approximation est la plus serrée pour les options at-the-money bien éloignées de l'expiration, où le modèle de prix et la lecture du delta s'alignent. Elle se dégrade à l'approche de l'expiration, parce qu'une option à 0,50 de delta dans les derniers jours est un pile ou face qui saute à zéro ou à certain quand le prix franchit le strike, et le chiffre de delta seul ne dit plus de quel côté le saut vient. La Évaluation des Options Black-Scholes est là que la probabilité exacte habite, et l'article sur le calcul du prix d'une option Black-Scholes passe par l'étape de la distribution normale qui transforme le delta en une probabilité défendable plutôt qu'une abréviation.
De la probabilité à la valeur : l'espérance et la taille du pari
La probabilité implicite vous dit ce que pense le marché. Elle ne vous dit pas si le marché a raison, et c'est dans cette distinction que l'argent se gagne ou se perd. Le test est la valeur attendue : multipliez votre probabilité par la cote décimale et soustrayez 1. À 2,10 la probabilité d'équilibre est 47,62 %, il faut donc être juste plus souvent que cela juste pour ne pas perdre. Si votre estimation honnête de la victoire à domicile est 55 %, la valeur attendue vaut 0,55 × 2,10 − 1, soit +15,5 % par unité mise, ou 15,50 $ de profit attendu sur un pari de 100 $.
L'image miroir est tout aussi importante. Si votre estimation est 45 %, la même cote de 2,10 donne 0,45 × 2,10 − 1, soit −5,5 %, un edge négatif qui fait perdre de l'argent à mesure que vous pariez plus, sans compter à quel point l'histoire semble sûre. Et le point de référence de votre estimation devrait être la probabilité juste de la section précédente, 45,43 % après retrait de la marge, pas le 47,62 % brut. Une estimation de 55 % se place 9,6 points au-dessus de la vision juste du marché, et c'est cet écart, pas les cotes brutes, qui est l'edge pour lequel on vous paierait.
La taille suit l'edge. Le critère de Kelly, couvert dans l'article sur le critère de Kelly et calculé dans la Calculatrice du Critère de Kelly, donne la fraction du bankroll à risquer sur un pari à edge positif. Avec une cote décimale de 2,10 le gain net b vaut 1,10, et avec une probabilité de gain de 55 % la fraction Kelly complète vaut 0,55 × 1,10 − 0,45, le tout sur 1,10, soit 14,09 % du bankroll. La plupart des praticiens utilisent la moitié, 7,05 %, parce que l'estimation de l'edge est elle-même incertaine et le demi-Kelly coupe la volatilité d'à peu près moitié en ne rendant qu'une part modeste de la croissance à long terme.
Utiliser la calculatrice et les limites honnêtes
La calculatrice a deux modes. Le mode delta d'option prend un delta entre 0 et 1, un prix de strike et une prime, et renvoie les probabilités dans l'argent et hors de l'argent plus les deux prix de seuil, avec une table de référence des valeurs de delta courantes de 0,10 à 0,95. Le mode probabilité prend un pourcentage entre 0 et 100 et renvoie les trois formats de cotes côte à côte, avec l'overround affiché à 100 % pour une cote à issue unique. Les deux sens sont la même arithmétique, une ligne de chaque côté, et l'outil existe pour que vous n'ayez pas à la re-dériver sous pression.
Quatre limites méritent d'être dites clairement. D'abord, le delta est une approximation, et l'outil le dit dans sa propre note : la probabilité réelle dépend du modèle de prix et des hypothèses sur la volatilité. Éloigné de l'expiration et près de l'argent il est proche ; près de l'expiration il peut se tromper de beaucoup. Deuxièmement, la normalisation de l'overround suppose que le marché est approximativement efficace, donc si les cotes affichées sont mal prixées, les probabilités normalisées héritent de l'erreur et retirer la marge ne retire que le frais, pas l'erreur. Troisièmement, l'affichage arrondit : cotes américaines à l'entier et décimales à deux chiffres, donc 33,33 % s'affiche comme +200 et 1,6667 comme 1,67, ce qui est bien pour lire le marché mais ne doit pas être renvoyé dans un calcul de précision. Quatrièmement, une probabilité unique n'est pas une distribution. Si vous voulez la forme du résultat, la fourchette de prix possibles à l'expiration, ou le chemin d'un portefeuille dans le temps, le Simulateur de Monte Carlo d'actions est l'instrument juste, et la probabilité implicite est une entrée pour lui plutôt que toute la réponse.
L'arithmétique de la probabilité implicite tient sur une carte d'index : divisez 100 par les cotes pour lire le marché, divisez par l'overround pour retirer la marge, soustrayez 1 de votre probabilité fois les cotes pour trouver l'edge, et taillez la position à cet edge. Le calcul est la partie facile. L'estimation que vous comparez contre lui est là que l'habileté, et le risque, habitent vraiment.