Monte-Carlo-Aktiensimulator Bedienen: eine Aktie zu 150 $ bei 10 % Rendite und 20 % Volatilität erzielt im Schnitt 165,78 $ mit 65,54 % Gewinnwahrscheinlichkeit nach einem Jahr

Eine Monte-Carlo-Aktiensimulation beantwortet eine Frage, die eine einzelne Prognose nie beantworten kann: nicht, wo der Kurs sein wird, sondern die gesamte Form davon, wo er sein könnte. Führen Sie denselben Startpreis, dieselbe Rendite und dieselbe Volatilität durch ein paar hundert zufällige Pfade, und statt einer Zahl erhalten Sie eine Verteilung, einen Mittelwert, einen Median, die Perzentile, die die optimistischen und pessimistischen Schwänze markieren, und die schlichte Wahrscheinlichkeit in Prozent, dass die Aktie höher schließt, als Sie sie gekauft haben. Der Monte-Carlo-Aktiensimulator tut genau das: Geben Sie einen aktuellen Kurs, eine Jahresrendite, eine Jahresvolatilität, einen Zeithorizont und eine Anzahl an Pfaden ein, und er meldet den mittleren Preis, den Median, die 5- bis 95-Prozent-Perzentile, die Gewinnwahrscheinlichkeit und ein Histogramm der Ergebnisse.

Was die Simulation tut: eine Aktie, fünfhundert mögliche Zukünfte

Jeder Pfad ist ein mögliches Leben der Aktie. Das Werkzeug zieht einen zufälligen Schock aus einer Normalverteilung, skaliert ihn mit der Volatilität und der Länge des Horizonts und rechnet ihn auf den Startpreis auf, dann wiederholt es das Ganze standardmäßig fünfhundertmal. Keine zwei Pfade sind identisch, und keiner von ihnen ist die Wahrheit, aber zusammen zeichnen sie den Bereich von Ergebnissen nach, den die Annahmen zulassen. Eine gewöhnliche Wachstumsprognose gibt Ihnen nur einen Punkt in dieser Wolke, und es ist meistens der optimistische Punkt, weil eine gewöhnliche Prognose annimmt, dass die Rendite jedes einzelne Jahr genau auf dem Ziel landet. Die Simulation zeigt Ihnen, was passiert, wenn die Rendite, und die Volatilität um sie herum, nicht landen.

Deshalb ist die Ausgabe eine Form und keine Zahl. Die fünfhundert Endpreise, sortiert vom schlechtesten zum besten, sind die Verteilung, die die Marktannahmen implizieren, und jede Kennzahl, die das Werkzeug meldet, der Mittelwert, der Median, die Perzentile und die Gewinnwahrscheinlichkeit, ist nur eine Messung, die von dieser einen sortierten Liste abgenommen wird. Ändern Sie die Eingaben, und die Form bewegt sich, aber die Logik, sie zu lesen, bleibt dieselbe, egal auf welche Aktie Sie sie richten.

Der Motor: geometrische Brownsche Bewegung und lognormaler Preis

Die Mathematik unter der Haube ist die geometrische Brownsche Bewegung, derselbe kontinuierliche Zeitprozess, den das Black-Scholes-Optionsmodell verwendet, und der Black-Scholes-Rechner ist das andere Instrument, das auf genau diesem Motor gebaut ist. Der Endpreis ist der Startpreis mal eine Exponentialfunktion: die Drift, die ist die Jahresrendite minus die Hälfte der Varianz, mal der Jahresanteil, plus die Volatilität mal die Quadratwurzel dieses Anteils mal eine standardnormale Zufallsziehung. Die Exponentialfunktion ist das, was jeden Pfad positiv hält, eine Aktie kann nicht zu einem negativen Preis gehandelt werden, und sie ist das, was die Verteilung des Endpreises lognormal macht, nach rechts schief mit einem langen Schwanz von seltenen großen Gewinnen.

Zwei Konsequenzen der Lognormalform sind wichtig für das Lesen des Ergebnisses. Erstens liegt der Durchschnitt der Pfade, der Mittelwert, über der Mitte der Pfade, dem Median, weil der rechte Schwanz den Mittelwert nach oben zieht. Zweitens tritt die Volatilität zweimal auf, einmal in der Drift als der Minus-halbe-Varianz-Abzug und einmal im zufälligen Schock, deshalb endet eine hochvolatile Aktie mit derselben erwarteten Rendite wie eine niedrigvolatile mit einer fetteren Streuung von Ergebnissen, mehr von den großen Verlusten und den großen Gewinnen. Dieselbe Exponentialfunktion, Schritt für Schritt für den Optionsfall geschrieben, ist in dem Artikel über die Berechnung eines Black-Scholes-Optionspreises, und die beiden Werkzeuge teilen die Drift-plus-Schock-Zeile fast wort für wort.

Der Standardfall: eine Aktie zu 150 $ bei 10 % Rendite und 20 % Volatilität

Führen Sie den Fall aus, den das Werkzeug vorschlägt. Eine Aktie bei 150 $, eine Jahresrendite von 10 %, eine Jahresvolatilität von 20 %, ein Horizont von 252 Handelstagen, das ist ein Jahr, und fünfhundert Pfade. Die Drift für das Jahr ist 10 % minus die Hälfte von 4 %, das Quadrat von 20, das sind 8 %, und der Zufallsterm ist 20 % mal eine standardnormale Ziehung. Fünfhundert Pfade landen mit einem Mittelwert von 165,78 $, einem Gewinn von 10,52 % gegenüber dem Start, und einem Median von 162,49 $, einem Gewinn von 8,33 %. Die Lücke zwischen den beiden, etwa 3 $, ist die Lognormal-Schiefe in Dollars: der Mittelwert läuft höher, weil eine Handvoll Pfade nach oben explodieren.

Die Perzentile kartografieren die Schwänze. Das 5-Perzentil, der Preis, den 95 % der Pfade schlagen, ist 116,94 $, ein Verlust von 22,04 %. Das 25-Perzentil ist 141,99 $, ein Verlust von 5,34 %, also ist ein Viertel der Zukünfte noch unter Wasser. Das 50-Perzentil ist der Median bei 162,49 $, mit einem Anstieg von 8,33 %. Das 75-Perzentil ist 185,96 $, ein Gewinn von 23,97 %, und das 95-Perzentil ist 225,79 $, ein Gewinn von 50,53 %. So endet die Aktie über die mittlere Hälfte der Verteilung, zwischen dem 25- und dem 75-Perzentil, irgendwo zwischen einem Verlust von 5,34 % und einem Gewinn von 23,97 %, und die Wahrscheinlichkeit, über dem Start bei 150 $ zu schließen, liegt bei 65,54 %.

Die Verteilung lesen: Mittelwert gegen Median, und das Histogramm

Das Histogramm zeichnet die Verteilung als zehn Balken vom schlechtesten Pfad zum besten, jeder Balken ein Preisbereich und sein Anteil der Pfade. Im Standardfall ballen sich die Balken um den Bereich von 160 bis 175 $, die Mitte der Verteilung, und verdünnen sich zu beiden Enden hin, der linke Schwanz reicht in den 110er-Bereich, der rechte Schwanz über 225 $. Der höchste Balken ist der wahrscheinlichste Preisbereich, nicht der Mittelwert und nicht der Median, sondern der Modus, und für eine nach rechts schiefe Lognormal stehen die drei in der Reihenfolge Modus, Median, Mittelwert von links nach rechts.

Wo sich die drei trennen, das sagt Ihnen die Schiefe. Wäre der Mittelwert gleich dem Median, wäre die Verteilung symmetrisch, aber hier läuft der Mittelwert bei 165,78 $ über dem Median bei 162,49 $, der rechte Schwanz zieht. Die Gewinnwahrscheinlichkeit, 65,54 %, liegt über 50, obwohl die Geschichte eine bescheidene erwartete Rendite von 10 % ist, weil der Start bei 150 $ links vom Median liegt, also schaffen mehr als die Hälfte der Pfade ihn. Lesen Sie den Median als das, was ein typischer einzelner Pfad tut, den Mittelwert als das, was der Durchschnitt vieler wiederholter Jahre tun würde, und die Perzentile als die ehrlichen Grenzen dafür, wie viel besser oder schlechter das Jahr ausfallen könnte.

Annahmen unter Druck setzen: längere Horizonte, dickere Schwänze, und wo das Modell scheitert

Ändern Sie eine Eingabe nach der anderen, und die Verteilung bewegt sich auf vorhersehbare Arten. Strecken Sie den Horizont auf fünf Jahre bei derselben Rendite von 10 % und derselben Volatilität von 20 %, und der Median klettert auf 223,77 $, der Mittelwert auf 247,31, und die Gewinnwahrscheinlichkeit steigt auf 81,45 %, weil die Drift über fünf Jahre aufgerechnet wird, während der Zufallsterm nur mit der Quadratwurzel der Zeit wächst. Die Streuung weitet sich auch dramatisch: Das 5-Perzentil fällt auf 107,24 $ und das 95-Perzentil steigt auf 466,96, also sind fünf Jahre mit 20 % Volatilität eine viel breitere Wolke als ein Jahr, und diese Breite ist der wahre Preis der Unsicherheit, die Sie halten.

Die Grenzen des Modells sind genauso wichtig wie die Ausgabe. Erstens geht er davon aus, dass die Rendite und die Volatilität, die Sie eingeben, konstant bleiben, aber echte Renditen und Volatilitäten sind selbst zufällig, also ist die wahre Verteilung fetter, als es ein einzelner Parametersatz andeutet. Zweitens hat die geometrische Brownsche Bewegung keine Sprünge, keine Kurseinbrüche, keine Lücken, also unterschätzt sie den linken Schwanz für eine Aktie, die über Nacht abstürzen kann. Drittens stammen die Perzentile aus fünfhundert Pfaden, was ausreicht, um die Form zu lesen, aber nicht, um ein 1-Perzentil auf drei Dezimalstellen zu zitieren, und das Werkzeug begrenzt die Pfadzahl für den Browser auf fünfhundert. Die deterministische Basislinie, die diese Simulation verschmiert, ist das gewöhnliche Zinseszinswachstum, behandelt im Zinseszinsrechner und im Zinseszins-Artikel: Bei 10 % pro Jahr würde die 150-$-Aktie genau auf 165 $ landen mit null Streuung, und der Simulationsmittelwert von 165,78 $ liegt innerhalb eines Dollars davon, die kleine Lücke ist die Konvention von kontinuierlicher gegenüber diskreter Zinseszinsrechnung, während der gesamte Punkt die Streuung darum ist, von 116,94 bis 225,79 $, die eine einzelne deterministische Zahl nicht zeigen kann.

Den Simulator nutzen und eine Wahrscheinlichkeit in eine Position verwandeln

Der Arbeitsablauf besteht darin, die Eingaben einzustellen, an die Sie tatsächlich glauben, nicht die Platzhalter: einen aktuellen Kurs aus dem Live-Kurs, eine Rendite, die Sie verteidigen möchten, und eine Volatilität, die zur jüngsten Geschichte der Aktie passt, dann lesen Sie die drei Zahlen, die zählen, die Gewinnwahrscheinlichkeit, den Median als typisches Ergebnis, und das 5-Perzentil als der schlechteste Fall in fünf von hundert Läufen. Wenn das Jahr vorbei ist und Sie einen realisierten Endpreis haben, macht der CAGR-Rechner daraus die Jahresrate, die der Pfad tatsächlich geliefert hat, und für wie weit der schlechteste Pfad von seinem Hoch fallen kann, bevor er sich erholt, ist der Maximal-Drawdown-Artikel die passende Risikobrille auf demselben simulierten Pfad.

Wenn die Gewinnwahrscheinlichkeit und das Schwanzrisiko zusammen Ihre Linie überschreiten, ist der letzte Schritt die Größe, und genau dort übergibt die Simulation an den Kelly-Kriterium-Rechner. Die 65,54-prozentige Chance auf einen Gewinn ist die Eingabe für eine Wettgrößenformel, und die Form der Verteilung sagt Ihnen, wie viel Sie sich falsch liegen wollen. Die Simulation sagt Ihnen nicht, dass die Rendite sicher ist; sie sagt Ihnen die Quoten, die Schwänze, und die Größe des typischen Gewinns und Verlusts, und das in eine Wette zu verwandeln, die Sie überleben können, ist der letzte, und einzige, Schritt, der von Ihnen abhängt.