Options-Greeks-Rechner: Wie ein Ausübungspreis von 100 auf einen Basiswert von 100, 60 Tage, 25% Volatilität und 5% Zins 0,5524 Delta, 0,0390 Gamma, -0,0404 Theta, 0,1603 Vega und 0,0835 Rho ergeben

Die fünf Greeks beantworten jeweils eine Frage: Wenn eine Eingabe einer Option ein wenig ändert, wie weit bewegt sich der Preis? Der Options-Greeks-Rechner startet mit einem Standardszenario, einem Call auf einen Basiswert von 100 mit Ausübungspreis 100, 60 Tage bis zum Ablauf, 25% Volatilität und 5% Risikozins, und liefert 0,5524 Delta, 0,0390 Gamma, -0,0404 Theta pro Tag, 0,1603 Vega pro Volatilitätspunkt und 0,0835 Rho pro Zinspunkt.

d1, d2 und das Modell hinter den fünf Zahlen

Jedes Greek ist eine Ableitung desselben Black-Scholes-Preises, also reduzieren sich alle fünf auf zwei Zwischengrößen, d1 und d2. Im Standardszenario ist d1 0,1318 und d2 0,0304: Delta liest die kumulierte Glockenkurve bei d1, Gamma ist die Glockenhöhe bei d1 geteilt durch Basiswert, Volatilität und die Quadratwurzel der Zeit, Theta und Vega tragen denselben Höhenterm, und Rho ist der diskontierte Ausübungspreis. Die Black-Scholes-Optionspreisbewertung druckt den Preis, den diese Sensitivitäten ableiten, 4,4479 für den Call und 3,6294 für den Put bei denselben Eingaben.

Delta: eine Absicherungsratio, die sich auch wie eine Wahrscheinlichkeit verhält

Delta arbeitet doppelt: als Absicherungsratio und als grobe Wahrscheinlichkeit, in-the-money abzuschließen. Als Absicherung bedeutet 0,5524, dass jeder Call 0,5524 einer Aktie entspricht, ein Buch aus 100 Calls wird also mit 55,24 verkauften Aktien abgesichert. Als Wahrscheinlichkeit liegt es nah an der ITM-Wahrscheinlichkeit, hier 0,5121, aber sie stimmt nicht überein, denn Delta liest d1 und die Wahrscheinlichkeit liest d2, und der Abstand wächst mit Volatilität und Zeit. Heben Sie den Ausübungspreis auf 110, fällt das Call-Delta auf 0,2094 bei 0,1814 Wahrscheinlichkeit; senken Sie ihn auf 90, klettert Delta auf 0,8792. Der Implizite-Wahrscheinlichkeit-Rechner macht aus dieser d2-Wahrscheinlichkeit die gesamte Ausgabe.

Gamma: die Geschwindigkeit von Delta, am stärksten am Geld

Gamma ist die Geschwindigkeit von Delta: 0,0390 sagt, dass ein Punkt Bewegung des Basiswerts Delta um etwa 0,039 verschiebt, was das Modell bestätigt, 0,5909 bei 101 und 0,5130 bei 99. Es ist am stärksten am Geld, 0,0198 bei Ausübungspreis 90 gegenüber 0,0284 bei 110, und es wächst, wenn der Ablauf näher rückt, 0,0554 bei 30 Tagen gegenüber 0,0317 bei 90. Die Volatilität wirkt in die andere Richtung: Gamma ist 0,0773 bei 12,5% und nur 0,0195 bei 50%, weil der Höhenterm durch die Volatilität geteilt wird. Marktvolatilität kommt normalerweise aus Daten, nicht aus einer Schätzung; der Implizite-Volatilität-Rechner leitet sie aus Optionspreisen ab, bevor sie an jedes Greek fließt.

Theta: die tägliche Gebühr, die die Position zahlt

Theta ist die Gebühr, die die Position für die Zeit zahlt, und der Rechner druckt sie pro Tag nach der Division durch 365: Der Call verliert täglich 0,0404, der Put 0,0268, der Put langsamer, weil der diskontierte Ausübungspreis mit Plusvorzeichen eingeht. Der Zerfall beschleunigt sich beim Näherrücken des Ablaufs, 0,0544 pro Tag bei 30 Tagen gegenüber 0,0341 bei 90, näher einem Kehrwert der Quadratwurzel der Zeit als einem linearen Abfall. Den Zins auf null gesetzt, lockert sich das Call-Theta auf 0,0337, der Finanzierungsteil der Kosten verschwindet. Für Positionen, die nach Kalender gewälzt werden, preist der Finanzierungsrate-Rechner den expliziten Carry der Futures-Seite der Absicherung.

Vega und Rho: die Hebel von Volatilität und Zins

Vega ist die Reaktion auf einen Volatilitätspunkt: 0,1603 bedeutet, dass ein zusätzlicher Vol-Punkt bei diesem Call etwa 0,1603 wert ist, und der Put trägt exakt denselben 0,1603. Am Geld hängt Vega kaum vom Vol-Niveau ab, 0,1604 bei 35% und 0,1601 bei 50%, aber sie wächst mit der Quadratwurzel der Zeit, 0,1139 bei 30 Tagen und 0,1955 bei 90. Rho ist das leiseste der fünf, 0,0835 pro Zinspunkt beim Call und -0,0795 beim Put, weshalb nur lange Bücher wirklich auf es achten. Der IV-Perzentil & IV-Rang zeigt, wo die aktuelle Volatilität in ihrem eigenen Bereich steht, bevor entschieden wird, ob die Vega-Exposure teuer oder günstig ist.

Die Plätze, die die Greeks in einem abgesicherten Buch einnehmen

Im echten Ablauf sind die Greeks der Umbuchungskalender eines abgesicherten Buches. Das Delta-Bein hält das Buch marktneutral, das Gamma-Bein sagt, wie oft dieses Delta-Bein neu gebaut werden muss, und das Theta-Bein ist die Tagesrechnung für die gehaltene Volatilität. Jede Umbuchung bringt ihre eigene Entry-Disziplin mit, der Risiko/Rendite-Verhältnis-Rechner prüft, ob der nächste Move mehr einbringt als er kostet. Wenn das ganze Buch gegenüber dem Konto dimensioniert wird, wandelt der Kelly-Kriterium-Guide den Vorteil pro Trade in einen Anteil des einsetzbaren Kapitals um.

Häufige Fragen

Warum teilen sich Call und Put dasselbe Gamma und denselben Vega?

Weil beide Zahlen aus der Glockenhöhe bei d1 kommen und d1 sich nicht ändert, wenn man nur den Optionstyp umdreht: 0,0390 Gamma und 0,1603 Vega im Standardszenario, für Call und Put gleichermaßen. Anders sind Delta, Theta und Rho, 0,5524 gegenüber -0,4476, -0,0404 gegenüber -0,0268 und 0,0835 gegenüber -0,0795, weil das diskontierte Ausübungspreis-Vorzeichen wechselt.

Ist Delta die Wahrscheinlichkeit, in-the-money abzuschließen?

Nahe, aber nicht gleich. Delta liest d1, 0,5524 im Standardszenario, während die ITM-Wahrscheinlichkeit d2 liest, 0,5121. Die Lücke ist der Schritt aus Volatilität mal Quadratwurzel der Zeit, also wächst sie mit Volatilität und Restzeit. Bei Ausübungspreis 110 liegen die beiden bei 0,2094 und 0,1814; bei 90 ist das Call-Delta 0,8792 und die Wahrscheinlichkeit 0,8577.

Wieso wird Theta größer, wenn der Ablauf näher rückt?

Weil sich der Zerfall durch die Quadratwurzel der Restzeit teilt: 0,0544 pro Tag bei 30 Tagen, 0,0404 bei 60 und 0,0341 bei 90 für den Standard-Call. Es ist nicht exakt ein Kehrwert der Quadratwurzel, die Drift- und Finanzierungsterme biegen ihn, aber die Richtung hält, der letzte Monat zerfällt schneller als der erste. Der Put zerfällt langsamer als der Call, 0,0268 gegenüber 0,0404 bei 60 Tagen, und der Rechner druckt die Zahl pro Tag, nachdem er die Jahreszahl durch 365 geteilt hat.

Was sagt Ihnen ein Vega von 0,1603 tatsächlich?

Dass ein ganzer Volatilitätspunkt bei diesem Call etwa 0,1603 wert ist, steigt die implizite Volatilität von 25 auf 26 Punkte, bewegt sich der Preis um etwa 0,1603 nach oben, und der Put trägt denselben 0,1603. Am Geld hängt Vega kaum vom Vol-Niveau ab, 0,1604 bei 35 und 0,1601 bei 50, aber sie skaliert mit der Quadratwurzel der Zeit, 0,1139 bei 30 Tagen gegenüber 0,1955 bei 90, deshalb halten lange Bücher die größte Vol-Exposure pro Option.

Wie steuern die Greeks einen Rebalancing-Kalender?

Behandeln Sie Delta als Positionslevel, 0,5524 einer Aktie pro Call, ein Buch aus 100 Calls wird also mit 55,24 Aktien abgesichert. Gamma ist die Re-Hedge-Uhr: 0,0390 bedeutet, dass ein Punkt Bewegung Delta um etwa 0,039 verschiebt, die Aktienzahl muss also nach deutlichen Bewegungen neu gebaut werden, nahe dem Ablauf bei 0,0554 noch öfter. Theta ist die Tagesbudget-Zeile, 0,0404 pro Tag für den Standard-Call, und Vega und Rho sind die zwei Exposures, die man beobachtet, wenn Vol oder Zinsen in eine Tendenz gehen.