Le Value at Risk, ou VaR, est la perte qu'un portefeuille peut subir sur un horizon donné, à un niveau de confiance choisi, avant que le résultat ne s'aggrave. Saisissez un portefeuille de 100 000, un rendement journalier de 0,05, une volatilité journalière de 1,5%, un niveau de 95% de confiance et un horizon de 1 jour dans la Calculatrice de Value at Risk (VaR), et la calculatrice répond 2 417,50 de VaR, 3 043,32 de CVaR et 26 570,35 de VaR annuel, plus un tableau comparatif pour les niveaux 99% et 99.5%.
La formule paramétrique et ses trois entrées
L'outil utilise la famille paramétrique, ou variance-covariance, du VaR: la perte attendue vaut le score z fois la volatilité fois la racine carrée de l'horizon, moins le rendement journalier fois l'horizon. Trois entrées la pilotent: la valeur du portefeuille échelle la réponse linéairement, la volatilité journalière fixe l'amplitude des oscillations et le rendement journalier, la dérive, déplace le centre. C'est le modèle entier, voilà pourquoi le résultat s'affiche instantanément. Le prix à payer est l'hypothèse que les rendements sont plus ou moins en cloche, et le guide de Monte Carlo couvre la famille par simulation qui abandonne cette hypothèse en tirant des milliers de chemins aléatoires.
Le tableau des scores z: 1,645, 2,326 et 2,576
Le niveau de confiance est un repérage, pas un calcul: 95% correspond à 1,645, 99% à 2,326 et 99.5% à 2,576, les points où la distribution normale garde cette fraction de queue derrière elle. Avec une volatilité journalière de 1,5% et une dérive nulle, les trois valeurs lisent 2 467,50, 3 489,00 et 3 864,00; l'outil soustrait la dérive avant d'afficher, donc 95% montre 2 417,50 à 2,42%, 99% montre 3 439,00 à 3,44% et 99.5% montre 3 814,00 à 3,81%. La volatilité elle-même vient d'ordinaire des données, et le guide de la volatilité implicite montre comment on résout le chiffre implicite du marché à partir des prix d'options.
CVaR: la perte moyenne au-delà de la ligne
La CVaR, aussi appelée perte espérée conditionnelle, répond à une question plus dure: sur les pires jours, combien perd-on en moyenne? Pour une distribution normale, elle vaut le portefeuille fois la volatilité fois la racine carrée de l'horizon fois la hauteur de la cloche au point z, divisé par la probabilité de la queue, moins la dérive. À 95% cela donne 3 043,32, nettement au-dessus de la ligne de VaR à 2 417,50, parce qu'elle moyenne chaque perte au-delà du seuil au lieu de marquer le seuil lui-même. Le guide du drawdown maximum regarde la même queue depuis l'autre côté: pas le pire jour modélisé, mais le pire enchaînement que le portefeuille a réellement enregistré.
Pourquoi l'horizon s'échelle avec la racine carrée
Le risque s'accumule avec la racine carrée du temps tandis que la dérive s'accumule en ligne, donc en étirant l'horizon, la fenêtre de pertes s'élargit plus vite que le rendement attendu ne monte. L'outil rend le saut visible: un jour c'est 2,42%, cinq jours 5,27% à 5 267,50, vingt et un jours 10,26% à 10 257,51, et le chiffre annuel 26 570,35 vient de multiplier la volatilité journalière par la racine carrée de 252, environ 15,87. La Calculatrice d'intérêt composé montre l'image miroir du côté du rendement, où le temps compose au lieu de s'étaler.
Le terme de dérive et le lien avec Sharpe
Le rendement journalier entre avec un signe moins: 0,05% par jour retire 50,00 à la perte d'un jour, c'est pourquoi la valeur de 95% sans dérive de 2 467,50 s'affiche 2 417,50. Mettre le rendement à zéro fait remonter le VaR à 2 467,50; le rendre grand et positif rétrécit le VaR, ce qui est précisément le chiffre à ne pas croire, car une estimation de dérive élevée fait tout le travail. Les mêmes deux entrées, dérive et volatilité, sont le numérateur et le dénominateur de la Calculatrice du Ratio de Sharpe: gagner beaucoup par unité de risque est exactement ce qui garde le terme de dérive grand face au terme de volatilité.
Où le VaR se place dans une chaîne de gestion du risque
En pratique le résultat est un budget, pas un verdict. Si le budget de perte journalière est 2 500, le résultat de 2 417,50 rentre dedans; couper le portefeuille en deux à 50 000 coupe le VaR en deux à 1 208,75, parce que la formule est linéaire en la valeur du portefeuille. La Calculatrice de Dimensionnement de Position fait le même échelonnement depuis l'autre côté, en partant de la taille du compte et d'un pourcentage de risque par trade. Pour un trade isolé et non pour tout le livre, le guide du ratio risque/récompense mesure la même discipline au niveau de la position.