Value at Risk, kurz VaR, ist der Verlust, den ein Portfolio über einem festen Horizont auf einem gewählten Konfidenzniveau erleiden kann, bevor der Ausgang schlechter wird. Geben Sie ein Portfolio von 100.000, eine Tagesrendite von 0,05, eine Tagesvolatilität von 1,5%, 95% Konfidenz und einen Horizont von 1 Tag in den Value-at-Risk (VaR) Rechner ein, und der Rechner antwortet mit 2.417,50 VaR, 3.043,32 CVaR und 26.570,35 Jahres-VaR, sowie einer Vergleichstabelle für die Stufen 99% und 99.5%.
Die parametrische Formel und ihre drei Eingaben
Das Tool nutzt die parametrische, oder Varianz-Covarianz, Familie des VaR: der erwartete Verlust ist der z-Wert mal die Volatilität mal die Quadratwurzel des Horizonts, minus die Tagesrendite mal der Horizont. Drei Eingaben steuern sie: der Portfolio-Wert skaliert die Antwort linear, die Tagesvolatilität legt die Größe der Ausschläge fest und die Tagesrendite, die Drift, verschiebt das Zentrum. Das ist das ganze Modell, deshalb erscheint das Ergebnis sofort. Der Preis ist die Annahme, dass Renditen ungefähr glockenförmig verteilt sind, und der Monte-Carlo-Guide behandelt die Simulationsfamilie, die diese Annahme aufgibt, indem sie tausende zufällige Pfade zieht.
Die z-Wert-Tabelle: 1,645, 2,326 und 2,576
Das Konfidenzniveau ist ein Nachschlag, keine Berechnung: 95% entspricht 1,645, 99% entspricht 2,326 und 99.5% entspricht 2,576, die Punkte, an denen die Normalverteilung diesen Anteil des Schwanzes hinter sich lässt. Mit 1,5% Tagesvolatilität und null Drift lauten die drei Werte 2.467,50, 3.489,00 und 3.864,00; das Tool subtrahiert die Drift vor dem Ausgeben, also zeigt 95% 2.417,50 bei 2,42%, 99% zeigt 3.439,00 bei 3,44% und 99.5% zeigt 3.814,00 bei 3,81%. Die Volatilität selbst kommt normalerweise aus Daten, und der Implizite-Volatilität-Guide zeigt, wie die marktimplizierte Zahl aus Optionspreisen gelöst wird.
CVaR: der Durchschnittsverlust jenseits der Linie
Die CVaR, auch Conditional Value at Risk genannt, beantwortet eine härtere Frage: an den schlimmsten Tagen, wie viel geht im Durchschnitt verloren? Für eine Normalverteilung ist sie das Portfolio mal die Volatilität mal die Quadratwurzel des Horizonts mal die Glockenhöhe am z-Punkt, geteilt durch die Wahrscheinlichkeit des Schwanzes, minus die Drift. Bei 95% ergibt das 3.043,32, klar über der VaR-Linie bei 2.417,50, weil sie jeden Verlust hinter der Schwelle durchschnitten im Mittel bildet statt die Schwelle selbst zu markieren. Der Maximaler-Drawdown-Guide betrachtet denselben Schwanz von der anderen Seite: nicht der modellierte schlimmste Tag, sondern die schlechteste Sequenz, die das Portfolio tatsächlich verzeichnete.
Warum der Horizont mit der Quadratwurzel skaliert
Risiko akkumuliert mit der Quadratwurzel der Zeit, während Drift linear akkumuliert, also wird bei längerem Horizont das Verlustfenster schneller größer als die erwartete Rendite steigt. Das Tool macht den Sprung sichtbar: ein Tag sind 2,42%, fünf Tage 5,27% bei 5.267,50, einundzwanzig Tage 10,26% bei 10.257,51, und die Jahreszahl 26.570,35 kommt aus der Multiplikation der Tagesvolatilität mit der Quadratwurzel von 252, etwa 15,87. Der Zinseszins-Rechner zeigt das Spiegelbild auf der Renditeseite, wo die Zeit verzinst statt verstreut.
Der Driftterm und der Sharpe-Zusammenhang
Die Tagesrendite geht mit minusvorzeichen ein: 0,05% pro Tag nehmen 50,00 vom eintägigen Verlust ab, deshalb druckt die Drift-freie 95%-Zahl von 2.467,50 als 2.417,50. Setzt man die Rendite auf null, klettert der VaR zurück auf 2.467,50; macht man sie groß und positiv, schrumpft der VaR, was genau die Zahl ist, der man nicht trauen sollte, denn eine hohe Driftschätzung macht die ganze Arbeit. Dieselben zwei Eingaben, Drift und Volatilität, sind Zähler und Nenner des Sharpe-Ratio-Rechner: viel pro Risiko-Einheit zu verdienen ist genau das, was den Driftterm groß gegenüber dem Volatilitätsterm hält.
Wo der VaR in einer Risiko-Pipeline sitzt
In der Praxis ist die Ausgabe ein Budget, kein Urteil. Wenn das Tagesverlustbudget 2.500 beträgt, passt das Ergebnis von 2.417,50 hinein; halbiert man das Portfolio auf 50.000, halbiert sich der VaR auf 1.208,75, denn die Formel ist linear im Portfolio-Wert. Der Positionssizing-Rechner führt dasselbe Skalieren von der anderen Seite aus, startend von der Kontogröße und einem pro-Trade-Risikoprozentsatz. Für einen einzelnen Trade statt für das ganze Buch misst der Risiko/Rendite-Guide dieselbe Disziplin auf Positionsebene.